By Univ.-Prof. Dr. phil. Gerd Baron, Univ.-Doz. Mag. rer. nat. Dr. phil. Peter Kirschenhofer (auth.)
Das Werk bietet eine Einf?hrung in die wichtigsten mathematischen Grundlagen aus den Gebieten der Linearen und Nichtlinearen Algebra, der research und der Diskreten Mathematik f?r Informatiker. Besondere Schwerpunkte bilden die in den Computerwissenschaften wichtigen Methoden aus Kombinatorik, Graphentheorie und der Theorie endlicher K?rper. Damit zeichnet sich das Werk gegen?ber den klassischen Grundlagenwerken der Ingenieurmathematik durch informatikspezifische Inhalte aus. Zahlreiche durchgerechnete Beispiele und Erkl?rungen sollen die M?glichkeiten des Selbststudiuns f?rdern. Die Darstellung ist mathematisch exakt und ohne ?bertriebenen logischen Formalismus. Ziel des Werkes ist es, Studierende der Informatik in mathematischen Einf?hrungsvorlesungen zu unterst?tzen und Studenten anderer F?cher, die sich in Computermethoden spezialisieren, die spezifischen mathematischen Grundlagen zu vermitteln. Mit Band three ist das Werk abgeschlossen.
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Das Konvergenzverhalten zu ändern. Durch Betrachtung der Partialsummen ergibt sich als Grenzwert 2 00 Definition. Die Reihe ~ k=O ak heiBt unbedingt konvergent, wenn jede Reihe, die 00 durch Umordnung der Reihenglieder von ~ ist mit demselben Grenzwert. Ist ~ k=O ak entsteht, ebenfalls konvergent k=0 00 ak konvergent, aber nicht unbedingt kon- vergent, so heiBt die Reihe bedingt konvergent. 00 (_l)k+l k=1 k Beispiel. ~ ist bedingt konvergent. 0 Ohne Beweis führen wir die folgenden beiden Resultate an: Satz.
K=O 00 Beispiele. 1) L 00 L qk k=O 1 qk ist konvergent in IR genau dann, wenn = --. Für divergent. 2) k=O l-q 00 1 L - k=O k! 00 q;::: 1 ist L qk k=O = +00. Für ist konvergent, und es gilt 3) (Vgl. 2): f 00 1 L - k=O k! +00 bzw. -00. Ist Iq I < 1, und es gilt 00 q:5 -1 ist L qk auch in IR* k=O = e. ~ (die" harmonische Reihe") ist in IR divergent, da die Park=lk tialsummenfolge
Wir nennen f) die Zusammensetzung der Funktionen fund g, oder auch "Schachteljunktion" mit äujJerer Funktion g und innerer Funktion f. Dann gilt der folgende Satz. Sei f ei ne Abbildung aus fRq in fRq, g ei ne Abbildung aus fRq in [Rs und WfÇD g. Sei weiters f stetig in xo, g stetig in f(xo). Dann ist f) = gof stetig in xo. ;;; Dg), so ist f) = gof stetig in D~=Df' Beweis. Sei