By Helmuth Späth (auth.)
Dr. Helmuth Späth ist Professor für Angewandte Mathematik am Fachbereich Mathematik der Universität Oldenburg.
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Manchmal kann man mittels geeigneter Substition unendliche Intervalle auf endliche transformieren, wie sie in der Numerik erforderlich sind. Z. B. ist 00 -x 1 -lit I X 0 t J~dr= J_e dt, wenn man 1 t=- x e-11t HO t setzt. Wegen lim- = 0 ist der Wert des Integranden rechts an der unteren Integrationsgrenze wohldefiniert. Um die Auswertung an Poistellen zu venneiden, kann man ebenfalls geeignet substituieren, wie z. B. X 0 55 Hilfsmittel Polynominterpolation zu erhalten. Bei SingulariUiten des Integranden kann man versuchen, diesen in eine Summe aus einer Funktion olme Singularitat und einer analytisch integrierbaren zu zerlegen.
B. fur j(x) =e- x ' , wo F(x) =:t k=O (-It (2k + l)k! X 2k + 1 ist, oder die Existenz nieht entsehieden werden kann. Ein Fonnelmanipulationssystem wie z. B. MAPLE Iiefert entweder eine Stammfunktion oder die Infonnation, daB es keine finden kann, was nieht bedeutet, daB es keine gibt. Urn das bestimmte Integral b f j(x)dx a oder den Wert J F(x) = j(t)dt a 54 4. Numerische Integration einer Stammfunktion fUr verschiedene x-Werte numerisch zu berechnen, ersetzt man f durch eine leicht zu integrierende Funktion g mit f '" g und setzt b b Jf(x)dx= Jg(x)dx+E, wobei der Fehler E anzugeben ist.
2 SUBROUTINE NEWSOL(U,X,A,T,F) DIMENSION X(N),A(N) F=A(N) DO 10 K=N-1,1,-1 F=F*(T-X(K»+A(K) 10 CONTINUE RETURN END Abb. 23) an, daB a l durch einen Funktionswert f(xl)=yp daB a2 durch f(xl)=YI und f(x 2)=Y2 und daB allgemein ak durch f(x l ) =Yp ... ,f(xk) =Yk bestimmt wird. 27) Beweis: an = f[ XI' ... 24). DaIm ist f[x 2,x ,xn] zu interpretieren als der Koeffizient n 2 von x - eines Polynoms q vom Grad ::; n - 2, das in den Stiitzstellen X2'XW .. 'Xn interpoliert, und an_I = f[x P x2, ... 22) Pn-I vorausgehenden Polynoms Pn-2 vom Grad ::;n-2, das in XP ...