By Dr. rer. nat. R. Kultze (auth.)
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Sample text
Offenbar ist das System {hu} ein {r(U,d),r(U,~), r~} in {r(U,d),r(U,~'), r~n· (fj' = {Au, G~, r~n seien Garbendaten mit r~ = PJ' (V c U), n, X) und ~' = (G', n', X) die zugehOrigen d-Garben und {hu}: (fj -+ (fj' ein Garbendatenhomomorphismus. {hu} induziert einen Garbenhomomorphismus von ~ in ~', den wir mit h bezeichnen wollen: Fur jedes x E X bilden die hu : Gu -+ G~ (U E ax) ein direktes System von Homomorphismen (vgl. 10). Durch Ubergang zum direkten Limes erhalt man dann den dx-Homomorphismus hx = lim hu: ~x -+ ~~.
Lst q> ein Isomorphismus und cp' ein Epimorphismus, so ist cp" ein Isomorphismus. 13. 13. 1st t'§' = (G', re', X) eine Untergarbe der d-Garbe t'§ = (G, re, X), so gibt es bis auf Isomorphie genau eine d-Garbe t'§" uber X, die mit t'§' und rg die exakte Sequenz o- t'§' - bildet, wobei i die Einbettung von t'§' i in t'§ t'§ P t'§" - 0 bezeichnet. Beweis: l)Wir beweisen zunachst die Existenz von t'§". Fur jede offene Teilmenge U von X ist r(U,t'§') ein r(U,d)-Untermodul von r(U,t'§). rir : (r(U,d), r(U, t'§')) --+ (r(V,d), r(v,t'§'») bezeichne die Einschrankung von r~: (r(U,d), r(U, t'§)) - (r(V,d), r(v,t'§)) auf (r(U,d), r(U, t'§')).
Wegen Tr (hu) C Tr(u) ist Tr (hu) E ¢,hinduziertalsoeinenHomomorphismus hx: r¢ (<§) -+ r", (<§'). 1 st o -----+ <§' h' ~ <§ h ~ <§" eine exakte Sequenz von Garben abelscher Gruppen uber X, so ist auch die induzierte Sequenz h~ hx o -----+ r ",(<§') ---+ r ",(<§) ---+ r ",(<§") fur jede Triigerfamilie ¢ auf X exakt. 1m Hinblick auf die spateren Untersuchungen ist der Begriff der Tragerfamilie noch zu allgemein. 5. Eine Triigerfamilie ¢ heij3t parakompaktifizierend, wenn gilt: (T 3) J edes A E ¢ ist parakompakt.