By Francesco Giacomo Tricomi, Friedrich Kasch
Wahrend m dem inform uber tngonometrische Reihen das Haupt mteresse auf der Konvergenzfrage hegt, werden in dem Teil uber Ortho gonalpolynome mehr die mdlvlduellen Eigenschaften derselben in den Vordergrund gestellt und auch zwel Paragraphen uber dIe allgemeinen Kugelfunktionen hmzugefugt. Ich erlaube mir, den Leser auf meine einheltliche Behandlung der sog. "klasslschen" Orthogonalpolynome aufmerksam zu machen, dIe auf einer verallgemeinerten "RODRIGUEZ-Formula" beruht. Es wlrd ferner einiges fiber neue Untersuchungen asymptotischer Eigenschaften der Orthogonalpolynome und ihrer Nullstellen berichtet. 1m allgemeinen habe ich mich bemuht, das bekannte und ausgezeichnete, aber in eimgen Punkten schon etwas veraltete Buch von G. SZEGO uber orthogonale Polynome hier und da zu ergimzen, soweit das im Rahmen eines didak tischen Buches moglich battle. 1m groBen und ganzen ist das vorliegende Buch eme Ubersetzung meiner vergriffenen "Sene ortogonali di funzioni," welche 1948 in hektographierter shape (bei Gheroni, Turin) erschienen struggle, jedoch mit vielen Verbesserungen und Zusatzen, die ihm ein neues Gesicht geben. An Vorkenntnissen ist der Inhalt der "Unendlichen Relhen" von ok. KNOPP nfitzlich, doch kommt guy auch mit geringeren Vorausset zungen aus. Vor allem braucht der Leser aber eine gute Kenntnis der Dlfferential-und Integralrechnung mIt EmschluB (wenn moghch!) des LEBEsGuEschen Integrals.
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FUr $< x;;;;;'b. b ai = und b ; J So (x) rpi(X) dx = aJ rpi{X) dx a e J [se{x)]2dx = aJ dx = $ a a. 1). 1) gilt, so gilt damit die PARSEvALsche Gleichung fur alle Stufenfunktionen, d. h. : Sulla ehiusura dei sistemi di funzioni ortogonali. Rend. R. Aeead. naz. Lineei (5) 21, 675 (1912). : Sulla eondizione di ehiusura di un sistema di funzicni ortogonali. Rend. R. Aeead. naz. Lineei (5) 30, 498 (1921). § 11. Die Bedingullgen von LAURICELLA, VITALI und DALZELL. 29 Stufenfunktionen. Wir wissen aber bereits aus § 5, daB das System der Stufenfunktionen mit rationalen ~ vollstandig beziiglich L2 ist.
1 ;=1 ;=1 ;=1 Subtrahiert man davon die PARSEvALsche Gleichul1g fUr t(x) und die fUr g(x), so erhalt man die Behauptul1g. 1) den Koeffizienten bi = f a b q'Ji(X) g(x) dx 1 Es ist bisher nicht bekannt. ob sich auch die Summen ~ n-3 • ~ n-5 • ••• in ahnlicher Weise durch Potenzen von n darstellen lassen oder iiberhaupt eine geschlossene Darstellung durch bekannte GroBen gestatten. 1. Orthogonale Funktionensysteme. 2: aj aJ i=l rpj(x) g(x) dx. 2) /I(x) g(x) dx = a ~ i=l aj / rpj(x) g(x) dx, a wobei die rechts stehend:; Reihe absolut und gleichmiifJig konvergiert.
7) - In (x) 1< V~ b a erfiillt ist. 6) folgt r f [I (x) - In/c(x)J 2dx < (b - a - w) _ 6__ < e. (x) - In/c(x)]2dx. E E E Dabei wird das erste Integral als Integral iiber eine quadratisch integrierbare Funktion fiir hinreichend kleines w selbst kleiner als e. (x)-lnlc(X)J2dx < e. m. Ink (X) = I (X), k-+oo womit der Beweis des Satzes fiir die Teilfolge In/c(x) (k= 1,2,3, ... ) bereits gefiihrt ist. Urn ihn fiir die gesamte Folge In(x) (n=1, 2, 3, ... 3) ! [I(x) b 2! [/(x) b In (X)J2 d xs. + 2! (X)]2 dx In (X)J2 dx 1 Dabei wird der Satz benutzt, daB L2 abgeschlossen ist, d.