By Igor R. Schafarewitsch (auth.)
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Example text
Grundbegriffe ist, falls X eine projektive abgeschlossene Menge ist. Dies läßt sich für X unmittelbar nachprüfen. In der Tat, geben wir t = = pn P Q mit zwei Formen P und Q gleichen Grades vor, so können P und Q o. B. d. A. als teilerfremd angenommen werden. In den Punkten x, für die Q(x) = 0 gilt, ist die Funktion t nicht regulär. Andererseits kann der Ring k[X] sich auch als unerwartet groß erweisen. Ist nämlich X eine affine abgeschlossene Menge, so besitzt der Ring k[X] eine endliche Anzahl von erzeugenden Elementen über k.
Es sei I}{ = (F I , ... , Fm)' Wir betrachten die durch die Gleichungen F 1 = ... = Fm = 0 bestimmte abgeschlossene Menge X c An und werden zeigen, daß I}{x = I}{ und somit ist. Für FE I}{x gilt nach dem Hilbertschen Nullstellensatz Fr E I}{ für ein gewisses r > O. Da das Ideal I}{ prim ist, muß F in I}{ enthalten sein. Wir erhalten daher I}{x c: I}{. Da aber offenbar auch I}{ c: I}{x gilt, stimmen die Ideale I}{ und I}{x überein. Wird der Körper Kübel' k von endlich vielen Elementen t I , ... , t n erzeugt, so erfüllt die Algebra A = k [ti , ...
N) eine Zahl mi > 0 mit S im, E I}( bestimmen. Setzen wir nun m = max (mo, ... , m n ) und s = (m - 1l (n + 1 l + 1, so muß jede Form der Gestalt Sou, ... Sn Gn mit a o + ... an > 8 wenigstens + 42 1. Grundbegriffe ein Si in einer Potenz m(ai > m ~ mil enthalten. Wegen Si m , E m: ist daher die ganze Form in m: enthalten. Damit ist gezeigt, daß 1 8 in m: enthalten ist. Im weiteren werden wir jetzt abgeschlossene Untermengen sowohl affiner als auch projektiver Räume gleichzeitig betrachten. Wir werden sie affine bzw.