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Zeige, wie man durch folgendes Verfahren ein ¨ aquivalentes System orthogonaler Funktionen f 1 2 vE , vE , · · · vE erzeugen kann. Dazu geht man aus von u1E und αu1E + βu2E und orthogonalisiert diese beiden Funktionen durch Wahl der Koeffizienten α und β. Dann f¨ ugt man die n¨ achste Funktion hinzu und orthogonalisiert diese in Bezug auf die beiden vorangehenden und so weiter. F¨ uhre diese Rechnung explizit f¨ ur drei und vier entartete Zust¨ ande durch. 9. L¨ ose die Schr¨ odinger Gleichung f¨ ur die eindimensionale Bewegung ei2 −α x2 ikx e und nes freien Teilchens mit der Anfangsbedingung ψ(x, 0) = α πe 42 2 Grundlegende Theoreme und Axiome der Quantenmechanik interpretiere das Ergebnis.

74) einsetzen, erhalten wir wegen der beiˆ χa,b = bχa,b , den Eigenwertgleichungen Aˆ χa,b = aχa,b und B ˆ −B ˆ A)ψ(x, ˆ (Aˆ B t) = ca,b (ab − ba)χa,b = 0 , a,b da es auf die Aufeinanderfolge der Eigenwertparameter a und b nicht ankommt, also ab − ba = 0 ist. Demnach wird |ca,b (t)|2 die Wahrscheinlichkeit sein, dass zur Zeit t bei der gleichzeitigen Messung von A und B am System im Zustand ψ(x, t) die Eigenwerte a und b die scharfen Messwerte sein werden. Ist etwa ein Eigenwert a entartet, dh.

14) V →∞ ist, wobei wir voraussetzen, dass die L¨ osungen ψ(x, t) der Schr¨odinger Gleichung quadratisch integrable Funktionen sind. Anders ausgedr¨ uckt, soll gelten d ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)d3 x = 0 . 10) und ihrer komplex konjugierte Form die zeitlichen durch die r¨ aumlichen Ableitungen. 17) S→∞ wobei das Verschwinden des letzten Integrals nur dann m¨oglich ist, wenn die zul¨ assigen L¨ osungen der Schr¨ odinger Gleichung ganz bestimmten Randbedingungen gen¨ ugen. Diese k¨ onnen zum Beispiel lauten, dass f¨ ur r → ∞ die L¨ osungen ψ proportional r−1 gegen Null streben und daher das Oberfl¨ achenintegral verschwindet, denn dσ ∼ r2 .