By Helmut Fischer, Helmut Kaul
Wie im ersten Band ihres Werkes stellen die Autoren die mathematischen Grundlagen der Physik in intestine zugänglicher und ansprechender shape dar. Das Buch eignet sich sowohl für das Selbststudium als auch zur Begleitung von Vorlesungen.
Read or Download Mathematik für Physiker Band 2: Gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen, mathematische Grundlagen der Quantenmechanik PDF
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Am−1 T m−1 mit eindeutig bestimmten Koeffizienten a0 , . . , am−1 . Das Minimalpolynom ist daher mT (x) := a0 + a1 x + . . + am−1 xm−1 + xm (c) Sei p ein T annullierendes Polynom. Division mit Rest liefert Polynome q, r mit p = mT q + r , Grad (r) < Grad (mT ) . 2 folgt p(T ) = mT (T )q(T ) + r(T ), also r(T ) = 0. Wegen der Minimalit¨ atseigenschaft von mT muss r konstant sein, also ist r das Nullpolynom wegen r(T ) = 0. ✷ Beispiele. (i) F¨ ur den Nulloperator 0 gilt m0 (x) = x; f¨ ur die Identit¨ at ½=½ V gilt m½ (x) = x − 1.
1 das AWP u + f (x) u + g(x) u = h(x) , u(0) = η1 , u (0) = η2 . Es bleibt also nur noch zu zeigen: (d) Die vn konvergieren gleichm¨ aßig in jeder kompakten Teilmenge K von Kr (0). Denn K liegt in einer kompakten Kreisscheibe | z | ≤ mit 0 < < r. 1 die Absch¨ atzung vn+1 (z) − vn (z) ≤ M (L )n f¨ ur | z | ≤ . n! Daraus folgt wie dort die komponentenweise gleichm¨ aßige Konvergenz von n−1 vn (z) = η + k=0 vk+1 (z) − vk (z) . 1 Die Struktur des L¨ osungsraums osungen des linearen Systems Lb bezeichne die Gesamtheit der maximalen L¨ y = A(x) y + b(x) , bei dem die Koeffizienten aij (x) der n × n–Matrix A(x) und die Komponenten bk (x) von b(x) in einem Intervall I stetig seien.
2 § 2 Grundlegende Theorie 36 gleichm¨ aßig auf I = [ξ − δ, ξ + δ], denn die Komponenten der Reihe ∞ uj+1 (x) − uj (x) ∞ haben nach (∗) die Majorante R j=0 j=0 (δL)j . j! ost das Anfangswertproblem auf I. Denn die Komponenten (d) u := lim uk l¨ k→∞ von u sind stetig als gleichm¨ aßige Limites stetiger Funktionen. Da K abgeschlossen ist, liegt der Graph von u in K. Aus f (t, u(t)) − f (t, uk (t)) ≤ L u(t) − uk (t) folgt die gleichm¨ aßige Konvergenz f (t, uk (t)) → f (t, u(t)) , somit x u(x) = lim uk+1 (x) = lim k→∞ k→∞ η+ f (t, uk (t)) dt ξ x = η+ k→∞ ξ Damit ist u : I → x lim f (t, uk (t)) dt = η + Ê n f (t, u(t)) dt .